刚体运动 (位置向量 - 旋转矩阵) 笔记 1.1~1.3 (台大机器人学-林沛群)

台大公开课链接：機器人學一 (Robotics (1)) - 物體在空間運動之描述 (一) - 第 1 周 | Coursera

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上回书说到：机器人学入门 (从机械手臂开始的智能世界) 笔记 0.1 (台大机器人学-林沛群)-CSDN博客

以下是视频课程的详细笔记（后续会持续更新）

本系列课程将深入探讨机械手臂的运动学与操作。在正式进入机械手臂的具体内容之前，我们需要补充一些必备的数学基础，核心在于如何精确地描述一个“刚体”（Rigid Body）的运动状态。这是因为在后续分析中，我们通常将机械手臂的各个部件视为刚体来处理。

补充：

刚体是一个理想化的固体，其大小和形状在受到力的作用时保持不变，用于牛顿力学中对真实物体进行建模

1. 理解刚体的“自由度”（Degrees of Freedom, DOF）

我们先从最简单的情况入手：如何描述一个刚体的运动？

1.1 平面运动 (2D)

想象一个在平面上运动的物体，例如PPT上展示的那个绿色椭圆。我们可以在平面上定义一个“世界坐标系”（World Frame），通常用 {W} 或 {A} 表示，它有X和Y两个轴。

要描述这个物体在平面上的运动，需要多少个参数呢？

移动 (Translation)：物体可以在平面上沿X轴（水平）和Y轴（竖直）移动。因此，需要两个参数来确定其位置。这对应两个移动自由度 (2 DOFs)。
转动 (Rotation)：物体还可以在平面内绕着某个点旋转（顺时针或逆时针）。这需要一个参数来描述其朝向。这对应一个转动自由度 (1 DOF)。

总结来说，描述一个平面刚体的运动状态，总共需要 3个自由度（2个移动 + 1个转动）。

1.2 空间运动 (3D)

现在考虑空间中的刚体。世界坐标系相应地增加一个Z轴，变为三维坐标系 {W} (或 {A}) 。

移动 (Translation)：物体的质心可以在空间中沿X轴（左右）、Y轴（上下）和Z轴（前后）移动。因此，需要三个参数来描述其位置。对应三个移动自由度 (3 DOFs)。
转动 (Rotation)：物体可以分别绕着X轴、Y轴和Z轴进行旋转。这需要三个参数来描述其姿态。对应三个转动自由度 (3 DOFs)。

因此，描述一个空间刚体的运动状态，总共需要 6个自由度（3个移动 + 3个转动）。

2. 统一描述：引入“体坐标系”（Body Frame）

既然刚体运动包含移动和转动两部分，有没有一种简洁的方法能将它们统一起来表达呢？

答案是在 刚体本身 上建立一个坐标系，我们称之为“体坐标系”（Body Frame），通常用 {B} 表示。这个坐标系是固定在刚体上的，会随着刚体一起运动。通常，我们会将体坐标系的原点建立在刚体的一个固定点上，比如质心 (被视为质量的中心) 。如上图所示，在绿色刚体上画上了一个橘色的坐标系统 {B} 。

通过引入体坐标系 {B}，我们可以这样描述刚体的状态：

移动状态：通过追踪体坐标系 {B} 的原点 (质心) 相对于世界坐标系 {A} (或称为{W}) 的位置来确定。
转动状态（姿态）：通过观察体坐标系 {B} 的三个坐标轴（,,）相对于世界坐标系 {A} (或称为{W}) 的朝向或姿态来确定。

这样，借助体坐标系的原点位置和三个轴的姿态，我们就能同时描述刚体的移动和转动状态了。

3. 从“状态”到“运动”：引入微分

前面讨论的是某个瞬间的几何状态（位置和姿态）。而“运动”是状态随时间的变化。如何描述这种变化呢？

速度与加速度：记录下刚体质心（即体坐标系原点）在不同时间点的位置，形成一条运动轨迹（如PPT中的红色曲线）。对这条轨迹（位置向量）关于时间进行一次微分，得到质心的速度；进行二次微分，得到质心的加速度 。
角速度与角加速度：类似地，通过对描述姿态的参数（我们稍后会详细介绍，如旋转矩阵）进行一次和二次微分，可以得到刚体的角速度和角加速度 。

3.1 补充：如何理解微分

图中曲线 f(x) 在 x0 处有一条切线，微分 dy 就基于这条切线来近似表示函数的变化

当 x 产生微小变化 △x 时，切线上对应的变化量就是 dy，它是对函数实际变化 △y 的近似

这种用切线的线性变化（微分 dy）“以直代曲” 来描述微小变化，正是微分的本质

因此，只要能精确描述刚体在任意时刻的几何状态（6个自由度），通过微分运算，就能掌握其完整的运动状态（速度、加速度、角速度、角加速度）。

4. 移动状态 - 位置向量 (Position Vector)

我们来更具体地量化描述移动。如前所述，我们在刚体（绿色椭圆）上建立了体坐标系 {B}（橘色），并在旁边设置了世界坐标系 {A} 。要描述移动，关键是追踪体坐标系 {B} 原点（通常设在质心）的位置 。

在三维空间中，这个向量有三个分量：，和 Pz。例如，上图中的例子向量 P = [10,3,3]，意味着体坐标系原点在世界坐标系 X轴上的投影距离是10，Y轴上是3，Z轴上也是3 。只要我们知道在任何时刻这三个分量的值，就能精确掌握刚体重心在空间中的位置。

4.1 关于向量的两种含义

表示空间中的一个点 (Position)：如我们刚才使用的位置向量，它定义了体坐标系原点（或质心）在世界坐标系中的绝对位置。

表示一个方向和大小 (Vector/Displacement)：向量也可以仅表示一个方向和大小，例如体坐标系 {B} 的三个主轴各自指向一个方向。描述这些方向是理解刚体转动的关键，我们将在下一部分详细讨论。

5. 转动姿态 - 旋转矩阵 (Rotation Matrix)

接下来，我们深入探讨如何描述转动，也就是刚体的姿态。我们利用体坐标系 {B} 的三个主轴来代表刚体在空间中的姿态。这三个轴向量都是从世界坐标系 {A} 的角度观察和描述的。

我们可以将这三个单位向量（表示方向）作为列向量，排列起来形成一个3x3的矩阵。这个矩阵被称为旋转矩阵 (Rotation Matrix)，记作（表示{B}(体坐标系)相对于{A}(世界坐标系) 的旋转）：

这里，表示 {B} 的X轴单位向量在 {A} 坐标系下的三个分量，和同理。左上角的 'A' 明确了参考坐标系。

这个旋转矩阵包含了 {B} 相对于 {A} 的完整姿态信息。

5.1 旋转矩阵与投影 (Direct Cosines)

如何确定这三个列向量呢？可以通过投影的方式。例如，的三个分量分别是向量在 {A} 的三个轴上的投影长度 。其中，“⋅” 代表向量点积。

5.1.1 点积 “⋅” (内积) 得到投影

5.1.2 一句话概括 (旋转矩阵)

用 {B}(体坐标系) 在 {A}(世界坐标系) 上的 (点积) 投影，来实现 体坐标系 (体姿态) 到世界坐标系 的转换

其他两列也是如此计算。将所有九个点积（投影）结果组合起来，就得到了完整的旋转矩阵：

这种用 (体姿态) 向量在 (世界) 坐标轴上投影长度（方向余弦）来表示姿态的方法，也称为 Direct Cosines (直接余弦)。

5.2 计算旋转矩阵实例

5.2.1 例1 (简单情况) ：

5.2.2 例2 (需要投影计算) ：

6. 随堂测试 (姿态->世界坐标)

结合三视图，不难看出姿态的x''向量与世界坐标系的z轴重合，大小为-1，因此排除C和D
又因为姿态y''在y上的投影是负方向的，因此可以排除A
因此答案是B

7. 学习地图补充：从刚体运动到 “位形空间”

1. 概念桥梁：连接我们已学和将学

我们现在的位置 (1.1 ~ 1.4): 我们已经学会了如何描述一个机器人的静态姿态 (Pose)
- 我们知道一个姿态 = 位置 (Position) + 方向 (Orientation)
- 我们知道描述它需要用到位置向量和旋转矩阵
- 我们知道描述一个姿态需要的所有独立参数数量，就是它的自由度 (DOF)
下一步的抽象：
- 想象一下，我们把机器人所有可能的姿态（每一个位置+方向的组合）都收集起来，会形成一个巨大的集合
- 这个集合本身可以被看作一个高维度的几何空间，其中每一个点都对应着机器人的一种唯一姿态
- 这个高维空间，就是位形空间 (Configuration Space, 简称 C-Space)
核心联系：
- C-Space 的维度 = 机器人的自由度 (DOF)
- 例1： 一个扫地机器人只能在地面移动和旋转，它有3个自由度 (x, y, θ)。那么它的 C-Space 就是一个三维空间。空间中的一个点 (x_pos, y_pos, θ_angle) 就完整定义了这台机器人的一个姿态
- 例2： 对于一个三关节的机械臂，它的姿态由三个关节的角度 (θ₁, θ₂, θ₃) 决定。那么它的 C-Space (通常称为关节空间, Joint Space) 就是一个三维空间，其中的一个点就代表了机械臂的一种特定弯曲形态

2. 位形空间如何解决路径规划问题

原始问题： 在充满障碍物的真实世界 (Workspace) 中，规划一个有体积、有形状的机器人从A姿态到B姿态的连续运动路径。这个问题非常复杂
C-Space 的解法：
1. 降维打击： 我们不再考虑机器人的复杂几何形状，而是把它“压缩”成 C-Space 中的一个点
2. 障碍物转换： 真实世界中的障碍物，会被映射到 C-Space 中，形成“禁止进入”的区域，称为 C-Space 障碍物 (C-Obstacles)。这个区域代表了所有会导致机器人与障碍物发生碰撞的姿态集合
3. 问题简化： 复杂的“机器人躲避障碍物”问题，被转化为了一个简单的“点如何在 C-Space 中绕开 C-Obstacles，从起点A移动到终点B”的寻路问题
拓扑学的作用：
- 拓扑学研究的是空间的连通性等基本属性。在路径规划中，它帮助我们分析 C-Space 中没有障碍物的自由空间 (Free Space) 的“形状”
- 它能回答最根本的问题：“起点和终点是否在同一个连通的自由空间内？” 如果不是，那么路径根本不存在。如果是，我们就可以应用各种算法（如A*, RRT等）在这个自由空间中寻找一条最优或可行的路径

3. 我们的课程地图：何时会遇到“位形空间”？

根据我们的课程列表，这个概念会逐步渗透，并在轨迹规划部分成为核心

铺垫与引入阶段 - 第3章 (顺向运动学):
- 在 3-5 Actuator Joint and Cartesian Spaces 这节课，我们会第一次明确接触到两个核心空间：
  - 关节空间 (Joint Space): 这就是机械臂的位形空间 (C-Space)
  - 笛卡尔空间 (Cartesian Space): 这就是我们通常说的机器人末端执行器所在的工作空间 (Workspace)
- 这部分课程会教我们如何从 C-Space 的一个点（一组关节角度）计算出 Workspace 中的姿态（末端位置和方向）。这是理解 C-Space 的第一步
核心应用阶段 - 第5章及以后 (机械手臂轨迹规划):
- 5-1 机械手臂轨迹规划引言 和 5-2 Joint Space下的轨迹规划 将是这个概念大放异彩的地方
- 课程会直接讨论，我们规划的路径本质上是 C-Space (关节空间) 中的一条曲线。这条曲线上的每一个点，都对应着机器人运动过程中的一个姿态
- 我们后面学习的 Cubic Polynomials (三次多项式) 等方法，都是用来生成这条光滑的、连接C-Space中起点和终点的路径的数学工具
- 因此，整个第5、6、7章的轨迹规划内容，都是在位形空间这个“地图”上进行的实践应用。虽然课程可能不会深入讲解拓扑学的数学理论，但其核心思想——在抽象空间中规划路径——是贯穿始终的